Triángulo de Pascal o Tartaglia y su relacion con el binomio de Newton
Triángulo de pascal
Pascal ideó una manera sencilla de calcular números combinatorios es una tabla numérica infinita de forma triangular, que permite resolver toda una gama de problemas de cálculo. El que se le asocie el nombre del filósofo, matemático Pascal se debe a que el francés escribió el primer tratado sobre el triángulo. Lo de Tartaglia viene porque el italiano fue de los primeros que lo publicaron en Europa.
- Para construir el triángulo, empieza con "1" arriba, y
pon números debajo formando un triángulo.
- Cada número es la suma de los dos números que tiene encima, menos
los extremos, que son siempre "1".
- La primera diagonal es, claro, sólo "unos", y la
siguiente son todos los números consecutivamente (1,2,3, etc.)
- La tercera diagonal son los números
triangulares (Un número triangular es aquel que puede recomponerse
en la forma de un triángulo equilátero)
- La cuarta diagonal, son los números tetraédricos (número
que representa una pirámide de base triangular y tres lados, llamada
tetraedro.)
Cada fila tiene tantos números más 1, como indica el número de la fila;
por ejemplo, la 5ª fila tiene 5+1= 6 números.
Binomio
de Newton y su relación
La fórmula que nos
permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio
de Newton.
Y su fórmula es la siguiente:
El triángulo de Pascal o de Tartaglia nos será muy útil para
calcular los coeficientes del binomio de Newton. Este es un algoritmo que permite calcular una potencia cualquiera de un binomio,
para ello se emplea los coeficientes binomiales, que no son más que una
sucesión de números combinatorios.
La relación del triángulo de pascal con el Binomio de Newton es
que permite un rápido y fácil cálculo de binomios elevados a cualquier exponente
natural. Entonces, cada una de las cifras del triángulo
de pascal es correspondiente al valor de un número combinatorio, de la
siguiente forma:
Se puede encontrar el valor de un
número combinatorio cualquiera sea si recordamos el cálculo con la siguiente
fórmula:
Si prestamos atención a las potencias de (a+b) de nuevo,
se puede ver que las potencias de a empiezan elevadas a n, y disminuye uno a
uno hasta llegar a cero. Con los exponentes de b acontece lo contrario a
esto, sus coeficientes corresponderán a la fila quinta del triángulo de
Tartaglia. Resolviéndose de la siguiente manera:
De acuerdo a la fórmula de Newton quedaría así:
Un
ejemplo de lo anteriormente explicado seria el siguiente:
En casa de dudas te
dejo este video que podría ayudarte a comprender un poco mejor el tema.
Referencias:
- http://www.sangakoo.com/es/temas/binomio-de-newton-y-triangulo-de-pascal
- https://sites.google.com/site/nucleodelpensamiento/matematicas/noveno/triangulo-de-pascal-y-binomio-de-newton
- http://www.vitutor.com/pro/1/a_10.html
- http://www.disfrutalasmatematicas.com/triangulo-pascal.html
- http://platea.pntic.mec.es/~anunezca/ayudas/newton/binomio_de_newton.htm
