Triángulo de Pascal o Tartaglia y su relacion con el binomio de Newton

Triángulo de pascal 

Pascal ideó una manera sencilla de calcular números combinatorios es una tabla numérica infinita de forma triangular, que permite resolver toda una gama de problemas de cálculo. El que se le asocie el nombre del filósofo, matemático Pascal se debe a que el francés escribió el primer tratado sobre el triángulo. Lo de Tartaglia viene porque el italiano fue de los primeros que lo publicaron en Europa.

• Para construir el triángulo, empieza con "1" arriba, y pon números debajo formando un triángulo. 

• Cada número es la suma de los dos números que tiene encima, menos los extremos, que son siempre "1".

• La primera diagonal es, claro, sólo "unos", y la siguiente son todos los números consecutivamente (1,2,3, etc.)

• La tercera diagonal son los números triangulares (Un número triangular es aquel que puede recomponerse en la forma de un triángulo equilátero)

• La cuarta diagonal, son los números tetraédricos (número que representa una pirámide de base triangular y tres lados, llamada tetraedro.)

Cada fila tiene tantos números más 1, como indica el número de la fila; por ejemplo, la 5ª fila tiene 5+1= 6 números.

Binomio de Newton y su relación

La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton.

Y su fórmula es la siguiente: 

El triángulo de Pascal o de Tartaglia nos será muy útil para calcular los coeficientes del binomio de Newton. Este es un algoritmo que permite calcular una potencia cualquiera de un binomio, para ello se emplea los coeficientes binomiales, que no son más que una sucesión de números combinatorios.

La relación del triángulo de pascal  con el Binomio de Newton es que permite un rápido y fácil cálculo de binomios elevados a cualquier exponente natural. Entonces, cada una de las cifras del triángulo de pascal es correspondiente al valor de un número combinatorio, de la siguiente forma:

Se puede encontrar el valor de un número combinatorio cualquiera sea si recordamos el cálculo con la siguiente fórmula:

Si prestamos atención a las potencias de (a+b) de nuevo, se puede ver que las potencias de a empiezan elevadas a n, y disminuye uno a uno hasta llegar a cero. Con los exponentes de b acontece lo contrario a esto, sus coeficientes corresponderán a la fila quinta del triángulo de Tartaglia. Resolviéndose de la siguiente manera:

De acuerdo a la fórmula de Newton quedaría así: 

Un ejemplo de lo anteriormente explicado seria el siguiente:

En casa de dudas te dejo este video que podría ayudarte a comprender un poco mejor el tema.

Referencias:

1. http://www.sangakoo.com/es/temas/binomio-de-newton-y-triangulo-de-pascal
2. https://sites.google.com/site/nucleodelpensamiento/matematicas/noveno/triangulo-de-pascal-y-binomio-de-newton
3. http://www.vitutor.com/pro/1/a_10.html
4. http://www.disfrutalasmatematicas.com/triangulo-pascal.html
5. http://platea.pntic.mec.es/~anunezca/ayudas/newton/binomio_de_newton.htm